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Sobel 导数

在本教程中，你将学到如何：

使用 OpenCV 函数 cv::Sobel 计算图像的导数。
使用 OpenCV 函数 cv::Scharr 为 $3 \cdot 3$ 大小的核计算更精确的导数。

理论

注意： 下面的讲解出自 Bradski 与 Kaehler 所著的 Learning OpenCV 一书。

在前两篇教程中，我们已经看到了卷积的应用示例。最重要的卷积运算之一就是计算图像中的导数（或对导数的近似）。
为什么计算图像的导数可能很重要？设想我们要检测图像中存在的边缘。例如：

很容易注意到，在边缘处，像素强度会以明显的方式变化。表达变化的一个好办法是使用导数。梯度的大幅变化表明图像发生了显著变化。
更形象地说，假设我们有一幅一维图像。下图中强度的「跳变」就展示了一条边缘：
如果我们取一阶导数，边缘的「跳变」会看得更清楚（实际上这里表现为一个极大值）。
因此，根据上面的讲解可以推断：检测图像边缘的一种方法，可以是定位那些梯度高于其邻域的像素位置（或者更一般地，高于某个阈值的位置）。
更详细的讲解，请参阅 Bradski 与 Kaehler 所著的 Learning OpenCV。

Sobel 算子

Sobel 算子（Sobel Operator）是一个离散的微分算子。它计算图像强度函数梯度的近似值。
Sobel 算子结合了高斯平滑与微分。

公式

假设要处理的图像为 $I$ ：

我们计算两个方向的导数：
1. 水平方向变化：将 $I$ 与一个奇数大小的核 $G_{x}$ 做卷积得到。例如核大小为 3 时， $G_{x}$ 的计算为：
  $-1 & 0 & +1 \\ -2 & 0 & +2 \\ -1 & 0 & +1 \end{bmatrix} * I$$$
2. 垂直方向变化：将 $I$ 与一个奇数大小的核 $G_{y}$ 做卷积得到。例如核大小为 3 时， $G_{y}$ 的计算为：
  $-1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ +1 & +2 & +1 \end{bmatrix} * I$$$
在图像的每一点处，我们结合上面两个结果来计算该点梯度的近似：

$G = \sqrt{ G_{x}^{2} + G_{y}^{2} }$

有时也会使用下面这个更简单的公式：

$G = |G_{x}| + |G_{y}|$

注意： 当核大小为 3 时，上面展示的 Sobel 核可能产生明显的误差（毕竟 Sobel 只是导数的一种近似）。针对大小为 3 的核，OpenCV 通过 cv::Scharr 函数解决这一不精确问题。它与标准 Sobel 函数一样快，但更精确。它实现的是如下核：